Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  15

• B、

  13

• C、2
• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，根據(jù)雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF₂=90°，再利用勾股定理可求得4c²=52，從而可求得雙曲線的離心率．

解答： 解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，
不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
∵|AB|²+|BF₂|²=|AF₂|²，
∴∠ABF₂=90°，
又由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₁|+3-4=5-|AF₁|，
∴|AF₁|=3．
∴|BF₁|-|BF₂|=3+3-4=2a，
∴a=1．
在Rt△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²=6²+4²=52，
又|F₁F₂|²=4c²，
∴4c²=52，
∴c=

13

．
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

13

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，求得a與c的值是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．