Question

已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值為2.

（1）求函數(shù) f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（m,2m+1）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若P（x₀,y₀）為f(x)=圖象上的任意一點，直線l與f(x)=的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍.

Answer 1

解:（1）已知函數(shù)f(x)= ,

∴f′(x)=.

又函數(shù)f(x)在x=1處取得極值2，

∴f′(1)=

∴f(x)=.

（2）∵f′(x)=

由f′(x)＞0，得4-4x²＞0,即-1＜x＜1.

所以f(x)=的單調(diào)增區(qū)間是為（-1，1）.

因函數(shù)f(x)在（m,2m+1）上單調(diào)遞增，則有

解得-1＜m≤0,即m∈(-1,0)時，函數(shù)f(x)在（m,2m+1）上為增函數(shù).

（3）∵f(x)= ,∴f′(x)= 直線l的斜率為

k=f′(x₀)=

=4［］.

令=t,t∈(0,1)，則直線l的斜率k=4(2t²-t),t∈(0,1).

∴k∈［-,4］,即直線l的斜率k的取值范圍是［-,4］.