Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

1

4

x+

3a2

4x

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，設(shè)g（x）=-x²+2bx-4，且滿足對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥f（x₂） 恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f(x)=alnx-

1

4

x+

3a2

4x

-1的定義域是（0，+∞），f′(x)=-

(x-a)(x-3a)

4x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞區(qū)間．
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，問題等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）f(x)=alnx-

1

4

x+

3a2

4x

-1的定義域是（0，+∞），f′(x)=

a

x

-

1

4

-

3a2

4x2

=-

x2-4ax+3a2

4x2

=-

(x-a)(x-3a)

4x2

，…（2分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（a，3a）；
單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），（3a，+∞）．
②當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．…（5分）
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
問題等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，
當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1
由（1）知，在（0，2）上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，
故也是最小值點(diǎn)，
∴f（x）_min=f（1）=-

1

2

．…（7分）
g（x）=-x²+2bx-4，x∈[1，2]，
當(dāng)b＜1時(shí)，g（x）_max=g（1）=2b-5，
當(dāng)1≤b≤2時(shí)，g（x）_max=g（b）=b²-4；
當(dāng)b＞2時(shí)，g（x）_max=g（2）=4b-8；
問題等價(jià)于

b＜1 - 1 2 ≥2b-5

，或

1≤b≤2 - 1 2 ≥b2-4

，或

b＞2 - 1 2 ≥4b-8

．…（10分）
解得b＜1或1≤b≤

14

2

或b∈∅．…（11分）
即b≤

14

2

，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，

14

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．