Question

某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的一個(gè)小區(qū)前面建了一個(gè)弓形景觀湖，如圖，該弓形所在的圓是以AB為直徑的圓，已知AB=300m，CD與AB平行且它們之間的距離為50

2

m，開發(fā)商計(jì)劃從A點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋與地面和湖面均平行），為了使小區(qū)居民可以充分的欣賞湖景，所以要將湖面上的景觀橋PQ的長度設(shè)計(jì)到最長．
（1）記∠AOP=2θ，試用θ表示線段PQ；
（2）求PQ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用三角函數(shù)，可用θ表示線段PQ；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求PQ的最大值．

解答： 解：（1）PA=300sinθ，AQ=

50 2

cosθ

，
∴PQ=PA-AQ=300sinθ-

50 2

cosθ

，
（2）令f(θ)=300sinθ-

50 2

cosθ

，則f′(θ)=300cosθ-

50 2 sinθ

cos2θ

，
∴f′(θ)=50

2

cosθ[3

2

-tanθ(1+tan2θ)]，
∴f′(θ)=-50

2

cosθ(tan3θ+tanθ-3

2

)，
∴f′(θ)=-50

2

cosθ(tanθ-

2

)(tan2θ+

2

tanθ+3)
令f'（θ）=0，則tanθ=

2

，
結(jié)合問題條件分析知，當(dāng)tanθ=

2

時(shí)，f(θ)max=50

6

．
綜上，PQ的最大值為50

6

(m)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．