Question

已知橢圓的離心率為，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）設O為坐標原點，取C₂上不同于O的點S，以OS為直徑作圓與C₂相交另外一點R，求該圓面積的最小值時點S的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率、參數(shù)a、b、c的關系及菱形的面積計算公式即可得出；
（2）利用線段的垂直平分線、拋物線的定義即可得出；
（3）利用向量的垂直與數(shù)量積的關系、基本不等式的性質、二次函數(shù)的單調性即可得出．
解答：解：（1）由題意可知解得
所以橢圓C₁的方程是．
（2）∵|MP|=|MF₂|，∴動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡C₂是以l₁為準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡C₂的方程y²=4x．
（3）∵以OS為直徑的圓C₂相交于點R，∴以∠ORS=90°，即．
設S （x₁，y₁），R（x₂，y₂），，．
∴=x₂（x₂-x₁）+y₂（y₂-y_1）==0，
∵y₁≠y₂，y₂≠0，化簡得，
∴，
當且僅當，即，y₂=±4時等號成立．
圓的直徑|OS|====，
∵≥64，∴當=64，y₁=±8，，
所以所求圓的面積的最小時，點S的坐標為（16，±8）．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及其性質、線段的垂直平分線、菱形的面積計算公式、向量的垂直與數(shù)量積的關系、基本不等式的性質、二次函數(shù)的單調性是解題的關鍵．