Question

2013年我國汽車擁有量已超過2億（目前只有中國和美國超過2億），為了控制汽車尾氣對(duì)環(huán)境的污染，國家鼓勵(lì)和補(bǔ)貼購買小排量汽車的消費(fèi)者，同時(shí)在部分地區(qū)采取對(duì)新車限量上號(hào).某市采取對(duì)新車限量上號(hào)政策，已知2013年年初汽車擁有量為（=100萬輛），第年（2013年為第1年，2014年為第2年，依次類推）年初的擁有量記為，該年的增長(zhǎng)量和與的乘積成正比，比例系數(shù)為其中=200萬.

（1）證明：；

（2）用表示；并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi).

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2），能.

【解析】

試題分析：（1）先由條件列出，再證明，將=200代入，化簡(jiǎn)后得到的顯然成立.從而證明的本題；（2）由代入.即用表示了.再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

試題解析：（1）依題                           2分

 只需證明，即證.

上式顯然成立，所以.                                5分

（2），所以

按該政策可以將該市汽車總擁有量控制在200萬輛內(nèi)，即.       6分

證明如下：當(dāng)時(shí)，，顯然成立.

假設(shè)時(shí)，成立.

則當(dāng)時(shí) ，是關(guān)于的一個(gè)二次函數(shù)，

令，

其對(duì)稱軸，所以

，即.

綜上所述，成立.即該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi).      13分

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推公式；2.不等式；3.數(shù)學(xué)歸納法.