已知拋物線y２=-x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求證:OA⊥OB；

(2)當(dāng)△OAB的面積等于時(shí)，求k的值.

(1)證明:如下圖，由方程組消去x，并整理得ky２+y-k=0.

設(shè)A(x１，y１），Ｂ（x２，y２)，由韋達(dá)定理y1·y２=-1.

∵A、B在拋物線y2=-x上，

∴y１２=-x1,y２２=-x２，y１２·y２２=x１x２．

∵kＯＡ·kＯＢ==-1,

∴OA⊥OB.

(2)解:設(shè)直線與x軸交于N，又顯然k≠0，

∴令y=0,則x=-1，即N(-1,0).

∵S△OAB=S△OAN+S△OBN

=|ON||y1|+|ON||y2|

=|ON|·|y1-y2|，

∴S△OAB=·1·.

∵S△OAB=，∴=.

解之,得k=±.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，A是拋物線y2＝2x上的一動(dòng)點(diǎn)，過A作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線分別切圓于EF兩點(diǎn)，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，交y軸于B、C兩點(diǎn)

（１）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(8，4)時(shí)，求直線EF的方程；

（２）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)時(shí)，求直線MN的方程；

（３）當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求△ABC面積的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三第五次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C（2，2），且拋物線的焦點(diǎn)為F1.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，此時(shí)，x1 +x2=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時(shí)，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）2+(y+1)2=4

 

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