Question

9．在數(shù)列{a_n}中，a₁=t（t＞0），a₂≤$\frac{t}{3}$，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，且4S_n=S_n-1+3S_n+1+S_n²（n≥2）
（1）比較a₂₀₁₄與3a₂₀₁₅的大小；
（2）令b_n=-a_n+1²+a_na_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{{t}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，可得S_n-S_n-1=3（S_n+1-S_n）+S_n²（n≥2）即為a_n=3a_n+1+S_n²（n≥2）即可得到大小關(guān)系；
（2）運(yùn)用配方和二次函數(shù)的單調(diào)性，可得b_n≤-（$\frac{1}{3}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n）²+$\frac{1}{4}$a_n²=$\frac{2}{9}$a_n²，運(yùn)用放縮法和等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答 解：（1）4S_n=S_n-1+3S_n+1+S_n²（n≥2）
即有S_n-S_n-1=3（S_n+1-S_n）+S_n²（n≥2）
即為a_n=3a_n+1+S_n²（n≥2）
則a_n≥3a_n+1，
即有a₂₀₁₄≥3a₂₀₁₅；
（2）證明：b_n=-a_n+1²+a_na_n+1=-（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n）²+$\frac{1}{4}$a_n²，
又a_n+1≤$\frac{1}{3}$a_n，
則b_n≤-（$\frac{1}{3}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n）²+$\frac{1}{4}$a_n²=$\frac{2}{9}$a_n²，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n≤$\frac{2}{9}$（a₁²+a₂²+…+a_n²）
＜$\frac{2}{9}$（t²+（$\frac{1}{3}$）²t²+（$\frac{1}{3}$）⁴t²+…+（$\frac{1}{3}$）²ⁿt²）
=$\frac{2}{9}$•$\frac{1-\frac{1}{{9}^{n}}}{1-\frac{1}{9}}$t²＜$\frac{{t}^{2}}{4}$．
即有T_n＜$\frac{{t}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和之間的關(guān)系，考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．