【題目】如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道， ， 將廣場分割為個區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點在半圓弧上， 分別與， 相交于點， .（道路寬度忽略不計）

（1）若經(jīng)過圓心，求點到的距離；

（2）設， .

①試用表示的長度；

②當為何值時，綠化區(qū)域面積之和最大.

【答案】（1）（2）①最小值為②當時，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大

【解析】試題分析：（1）先建立直角坐標系，聯(lián)立直線OB方程與圓方程解得P點縱坐標，即得點到的距離；（2）①先求點到的距離為，再根據(jù)三角形相似得的長度；②根據(jù)三角形面積公式求三個三角形面積，再用總面積相減得綠化區(qū)域面積，最后利用導數(shù)求函數(shù)最值

試題解析：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系.

（1）直線的方程為，

半圓的方程為 ，

由得.

所以，點到的距離為.

（2）①由題意，得.

直線的方程為

，

令，得

.

直線的方程為，

令，得 .

所以， 的長度為

， .

②區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為

，

區(qū)域Ⅱ的面積為

，

所以 .

設，則，

.

.

當且僅當，即時“”成立.

所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.

答：當時，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的離心率為，左頂點到直線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，試探究：點O到直線AB的距離是否為定值？若是，求出這個定值；否則，請說明理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB面積S的最小值．

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【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵；將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱之為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biē nào]．某學�？茖W小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個塹堵形的封閉的實驗室,是邊長為2的正方形．

（1）若，在上，四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角：若不是，請說明理由；

（2）當陽馬的體積最大時，求點到平面的距離．

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【題目】如圖，底面半徑為，母線長為的圓柱的軸截面是四邊形，線段上的兩動點， 滿足.點在底面圓上，且， 為線段的中點.

(Ⅰ)求證： 平面；

(Ⅱ)四棱錐的體積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex－1.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意x≥1，都有f(x)－mx－1＋m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（x）+f（x）＜0，設g（x）＝exf（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）對于任意的實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）

A. （﹣∞，0）∪（4，+∞） B. （0，1）

C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D. （﹣2，2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是 （ ）

A. 若，垂直于同一平面，則與平行

B. 若，則

C. 若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線

D. 若，不平行，則與不可能垂直于同一平面

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左焦點，直線與橢圓交于兩點， 為橢圓上異于的點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，以為直徑的圓過點，求圓的標準方程；

（3）設直線與軸分別交于，證明： 為定值.

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【題目】先后2次拋擲一次骰子，將得到的點數(shù)分別記為．

（1）求直線與圓相切的概率；

（2）將，4的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形（含等邊三角形）的概率．

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