Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥lnx對(duì)于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=x+alnx-1，x＞0，得f′（x）=1+

a

x

=

x+a

x

，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間，注意對(duì)a分類討論
（2）令g（x）=f（x）-lnx=x+（a-1）lnx-1，x∈[1，+∞），轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥0恒成立問題．

解答： 解：（1）由f（x）=x+alnx-1，x＞0，得f′（x）=1+

a

x

=

x+a

x

，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，若x＞-a，
則f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，
若0＜x＜-a，則f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，-a）．
（2）令g（x）=f（x）-lnx=x+（a-1）lnx-1，x∈[1，+∞），
則g′（x）=

x+a-1

x

．
由g′（x）=0得x=1-a，
當(dāng)a≥0時(shí)，即1-a≤1時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=0，因此，當(dāng)a≥0時(shí)，g（x）≥0，f（x）≥lnx對(duì)于任意x∈[1，+∞）恒成立．
當(dāng)a＜0時(shí)，即1-a＞1時(shí)，若1＜x＜1-a，
則g′（x）＜0，g（x）在（1，1-a）上單調(diào)遞減，
所以g（x）＜g（1）=0，不滿足
g（x）≥0，x∈[1，+∞），
即不滿足f（x）≥lnx對(duì)于任意x∈[1，+∞）恒成立．
綜上所述，a的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用、由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，這種常規(guī)的數(shù)學(xué)思想方法需要理解掌握并運(yùn)用．