把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，構成三棱錐ABCD，則下列命題：
①以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大值為
2
12
；
②當體積最大時直線BD和平面ABC所成的角的大小為45°；
③B、D兩點間的距離的取值范圍是（0，
2
]；
④當二面角D-AC-B的平面角為90°時，異面直線BC與AD所成角為45°．
其中正確結論個數(shù)為（　�。�
A、4個B、3個C、2個D、1個
考點：棱錐的結構特征
專題：空間位置關系與距離
分析：把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，構成三棱錐ABCD，如圖所示，則下列命題：
①以A、B、C、D四點為頂點的棱錐，當側面ACD⊥底面ABC時，體積最大值=
1
3
×
2
2
×
1
2
×1×1=
2
12
；
②由①可知：當體積最大時直線BD和平面ABC所成的角的大小為∠OBD=45°；
③B、D兩點間的距離的取值范圍是（0，
2
）；
④當二面角D-AC-B的平面角為90°時，由①可知：異面直線BC與AD所成角為90°．
解答： 解：把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，構成三棱錐ABCD，如圖所示，則下列命題：
①以A、B、C、D四點為頂點的棱錐，當側面ACD⊥底面ABC時，體積最大值=
1
3
×
2
2
×
1
2
×1×1=
2
12
，正確；
②由①可知：當體積最大時直線BD和平面ABC所成的角的大小為∠OBD=45°，正確；
③B、D兩點間的距離的取值范圍是（0，
2
），因此不正確；
④當二面角D-AC-B的平面角為90°時，由①可知：異面直線BC與AD所成角為90°，因此不正確．
綜上可知：只有①②正確．
故選：C．
點評：本題綜合考查了三棱錐的性質、線面垂直的判定與性質、線面角、異面直線所成的角、空間中兩點之間的距離、二面角等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax(x＞0)
(2-a)x+
2
3
a(x≤0)
在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是
 
（用區(qū)間表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

按照如圖的程序框圖執(zhí)行，則輸出的A值為（　　）
A、255B、257
C、511D、513

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x2-ax+b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g（x）=bx2-ax-1的零點是（　�。�
A、-1和
1
6
B、1和-
1
6
C、
1
2
和
1
3
D、-
1
2
和-
1
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調函數(shù)，且對于任意x1、x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），若g（x）=log2f（x），則g（x）的圖象可以是（　　）
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，可表示函數(shù)圖象的是（　�。� 
A、①B、②③④C、①③④D、②

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
2
2
，且點M（-1，
2
2
）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線l過橢圓的右焦點F2，且與橢圓交于A，B兩點，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax在x=
1
e
處取得極小值．
（Ⅰ）若不等式f（x）-bx+e≥0對一切x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若m，n∈（0，e），且m+n=e，求證：f（m）+f（n）＞0．

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