Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)，并證明G，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）當(dāng)直線FH與OB平行時(shí)，求頂點(diǎn)C的軌跡．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由A、O、B三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)；分b=

1

2

與b≠

1

2

兩種情況討論，易得證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中kFH=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

=0（c≠0，b≠

1

2

），得3(b2-b)+c2=0(c≠0，b≠

1

2

)，進(jìn)而化簡(jiǎn)可得

(b- 1 2 )2

( 1 2 )2

+

c2

( 3 2 )2

=1；結(jié)合橢圓的方程，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由△OBC三頂點(diǎn)坐標(biāo)O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），
可求得重心G(

b+1

3

，

c

3

)，
外心F(

1

2

，

b2+c2-b

2c

)，
垂心H(b，

b-b2

c

)．
當(dāng)b=

1

2

時(shí)，G，F(xiàn)，H三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為

1

2

，故三點(diǎn)共線；
當(dāng)b≠

1

2

時(shí)，設(shè)G，H所在直線的斜率為k_GH，F(xiàn)，G所在直線的斜率為k_FG．
因?yàn)?span id="azyofec" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">kGH=

c 3 - b-b2 c

b+1 3 -b

=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

，
kFG=

c 3 - b2+c2-b 2c

b+1 3 - 1 2

=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

，
所以k_GH=k_FG，G，F(xiàn)，H，三點(diǎn)共線．
綜上可得，G，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線．
（Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

=0，
得3(b2-b)+c2=0(c≠0，b≠

1

2

)
配方得3(b-

1

2

)2+c2=

3

4

，即

(b- 1 2 )2

( 1 2 )2

+

c2

( 3 2 )2

=1．
即

(x- 1 2 )2

( 1 2 )2

+

y2

( 3 2 )2

=1(x≠

1

2

，y≠0)．
所以，頂點(diǎn)C的軌跡是中心在(

1

2

，0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

3

2

，短半軸長(zhǎng)為

1

2

，且短軸在x軸上的橢圓，
但除去（0，0），（1，0），(

1

2

，

3

2

)，(

1

2

，-

3

2

)四點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與橢圓等基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；解題時(shí)，首先注意軌跡的求法及軌跡與軌跡方程的區(qū)別，其次要結(jié)合重心、垂心、外心的性質(zhì)來(lái)解題．