（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個頂點.

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G，F，H三點共線；

（Ⅱ）當直線FH與OB平行時，求頂點C的軌跡.

（21）本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：由△OBC三頂點坐標O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得

重心G（，），外心F（，），垂心H（b，）.

當b=時，G，F，H三點的橫坐標均為，故三點共線；

當b≠時，設G、H所在直線的斜率為kGH，F，G所在直線的斜率為kFG.

 

因為kGH==，

  

  kFG==，

 

所以kGH=kFG，G，F，H三點共線

綜上可得，G，F，H三點共線.

 

（Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH==0，得3（b2－b）+c2=0（c≠0，b≠），

 

配方得3（b－）2+c2=，

即即 =1 （x≠，y≠0）.

因此，頂點C的軌跡是中心在（，0），長半軸長為，短半軸長為，且短軸在x軸上的橢圓，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四點.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系xoy中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1）動點M滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則
OM
•
OC
的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為 
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，?為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線C1上的點M（1，
3
2
）對應的參數(shù)φ=
π
3
，曲線C2過點D（1，
π
3
）．
（Ⅰ）求曲線C1，C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點A（ρ 1，θ），B（ρ 2，θ+
π
2
） 在曲線C1上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個頂點.

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G，F，H三點共線；

（Ⅱ）當直線FH與OB平行時，求頂點C的軌跡.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（21）

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線l過點P(0，2)且與橢圓相交于A、B兩點，當ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程.

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