Question

函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）的最小正周期為

 

，單調(diào)減區(qū)間為

 

．

Answer 1

分析：把f（x）解析式中第二項的角度x+

π

4

變?yōu)?span id="ixx86w5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

π

2

+（x-

π

4

）后，利用誘導(dǎo)公式變形，再根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第一項利用兩角差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后再根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及化簡后的角度列出x的范圍，求出x的范圍即可得到f（x）的遞減區(qū)間．

解答：解：函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin[

π

2

+（x-

π

4

）]
=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=cos（2x-

π

3

）+sin（2x-

π

2

）
=cos（2x-

π

3

）-cos2x
=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
由正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
得到2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．
故答案為：π；[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期及其求法，三角函數(shù)的恒等變形以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把f（x）的解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．