（本題滿分14分）如圖，在三棱柱中，

每個(gè)側(cè)面均為正方形，為底邊的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

 

【答案】

 

解法一：證明：（Ⅰ）設(shè)的交點(diǎn)為O,連接，連接.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052118364707819516/SYS201205211838104531241240_DA.files/image005.png">為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn),

所以 ∥且.又是中點(diǎn)，

所以 ∥且,

所以 ∥且.

所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.

又平面,平面,則∥平面.   ………………5分

(Ⅱ) 因?yàn)槿庵鱾?cè)面都是正方形，所以，.

所以平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052118364707819516/SYS201205211838104531241240_DA.files/image025.png">平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.                ………………………………………10分

（Ⅲ）解: 取中點(diǎn)，連接. 

在三棱柱中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052118364707819516/SYS201205211838104531241240_DA.files/image023.png">平面，    

所以側(cè)面底面.

因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052118364707819516/SYS201205211838104531241240_DA.files/image044.png">是正三角形，且是中點(diǎn)，

所以，所以側(cè)面.

所以是在平面上的射影.

所以是與平面所成角.

.            …………………………………………14分

解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)邊長(zhǎng)為2，可求得，,

，，，，

，，.

（Ⅰ）易得，，

.  所以， 所以∥.

又平面,平面,則∥平面.  ………………5分

（Ⅱ）易得，，，

所以.

所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052118364707819516/SYS201205211838104531241240_DA.files/image074.png">，，

所以平面.            …………………………………………… 10分

（Ⅲ）設(shè)側(cè)面的法向量為,

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052118364707819516/SYS201205211838104531241240_DA.files/image053.png">, ,，，

所以，.

由  得解得

不妨令，設(shè)直線與平面所成角為．

所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為． ………………………14分

 

【解析】略

 

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