已知向量
a
=(cosx，4sinx-2)，
b
=(8sinx，2sinx+1)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b

（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，A為銳角，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3
2
，求a的值．
分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=
a
•
b
 的解析式為 4
2
sin（2x-
π
4
）+2，由此可得函數(shù)f（x）的最大值．
（2）由A為銳角，f（A）=6，求得sin（2A-
π
4
）=
2
2
，A=
π
4
．再根據(jù)△ABC的面積為3求得bc的值．再根據(jù) b+c=2+3
2
，利用余弦定理求得a的值．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=
a
•
b
=8sinxcosx+（4sinx-2）（2sinx+1）=4sin2x-4cos2x+2
=4
2
sin（2x-
π
4
）+2，
∴函數(shù)f（x）的最大值為 4
2
+2．
（2）在△ABC中，∵A為銳角，f（A）=6，∴4
2
sin（2A-
π
4
）+2=6，解得 sin（2A-
π
4
）=
2
2
，
∴A=
π
4
．
∴△ABC的面積為3=
1
2
•bc•sinA=
2
4
bc，∴bc=6
2
．
再根據(jù) b+c=2+3
2
，
可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=（b+c）2-2bc-2bc×
2
2
=10，∴a=
10
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域、以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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