Question

已知函數f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1．
（1）求使函數取得最大值的集合；
（2）求函數的單調減區(qū)間；
（3）指出函數的圖象可由y=sinx的圖象經過哪些變換而得到．

Answer 1

分析：（1）先對原函數化簡整理為f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

），令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，即可求出使函數取得最大值的集合；
（2）直接利用正弦函數的單調遞減區(qū)間的求法，令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即可求出函數的單調減區(qū)間；
（3）直接利用函數圖象的左加右減上加下減以及伸縮變換的規(guī)律即可得到結論．

解答：解：（1）因為f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1
=cos

x

2

+

3

sin

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，…（2分）
所以：當sin(

x

2

+

π

6

)=1時，函數取得最大值2，…（4分）
令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，得x=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
即使函數取得最大值的集合是{x|x=4kπ+

2π

3

，k∈Z}．…（6分）
（2）令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z，
所以；函數的單調減區(qū)間為[4kπ+

2π

3

， 4kπ+

8π

3

]，k∈Z．…（10分）
（3）將的圖象上每一點向左平移

π

6

個單位長度，再將每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），
再將每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變）．
或：將的圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），再向左平移

π

3

個單位長度，
再將每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變）．…（14分）

點評：本題主要考查三角函數的平移以及三角函數的單調區(qū)間的求法．三角函數的平移原則為左加右減上加下減．注意左右平移時，平移的是自變量本身．