Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l過定點A（1，0）．
（1）若l與圓C相切，求l的方程；
（2）若l與圓C相交于P、Q兩點，若|PQ|=2

2

，求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）分直線的斜率存在和不存在兩種情況，分別根據(jù)直線和圓相切的性質(zhì)求得直線的方程，綜合可得結(jié)論．
（2）用點斜式設(shè)出直線的方程，利用條件以及點到直線的距離公式，弦長公式求出斜率的值，可得直線的方程．

解答： 解：（1）若直線l的斜率不存在，則直線l：x=1，符合題意．
若直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l的距離等于半徑2，即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，解之得k=

3

4

，
此時直線的方程為3x-4y-3=0．
綜上可得，所求直線l的方程是x=1或3x-4y-3=0．
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，
因為|PQ|=2

r2-d2

=2

4-d2

=2

2

，求得弦心距d=

2

，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2

2

，求得 k=1或k=7，
所求直線l方程為x-y-1=0或7x-y-7=0．

點評：本題主要考查直線和圓相交、相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．