Question

【題目】三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析 ⑶

【解析】

試題（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證往往需要利用平幾知識(shí)，如本題就利用三角形中位線定理得（2）利用空間向量證明線面垂直，實(shí)際就是以算代證，即先求平面的一個(gè)法向量，再利用與法向量關(guān)系關(guān)系求證（3）求二面角的大小，一般利用空間向量的數(shù)量積求解，先建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面的法向量，利用向量數(shù)量積求法向量的夾角余弦值，最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系求值.

試題解析：（1）連接，，

在中，∵是中點(diǎn)，∴，

又∵平面，

∴平面.

（2）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量，

，

令，則，，∴，∴，

∴平面.

（3）設(shè)平面的法向量為，，

，

令，則，，

∴，

∴，

所求二面角的余弦值為.