若正項數(shù)列滿足條件:存在正整數(shù),使得對一切都成立,則稱數(shù)列為級等比數(shù)列.
(1)已知數(shù)列為2級等比數(shù)列,且前四項分別為,求的值;
(2)若為常數(shù)),且是級等比數(shù)列,求所有可能值的集合,并求取最小正值時數(shù)列的前項和;
(3)證明:為等比數(shù)列的充要條件是既為級等比數(shù)列,也為級等比數(shù)列.
(1)(2),0,(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)解新定義數(shù)列問題,關(guān)鍵從定義出發(fā),建立等量關(guān)系. ,
,,(2)本題化簡是關(guān)鍵.因為是級等比數(shù)列,所以
所以,最小正值等于,此時
,(3)充分性就是驗證,易證,關(guān)鍵在于證必要性,可從兩者中在交集(共同元素)出發(fā). ,成等比數(shù)列, 因此既是中的項,也是中的項,既是中的項,也是中的項,可得它們公比的關(guān)系,進而推出三者結(jié)構(gòu)統(tǒng)一,得出等比數(shù)列的結(jié)論.
解(1) (2分)
(4分)
(2)是級等比數(shù)列,
(1分)
所以,
(3分)
最小正值等于,此時
,,
(5分)
(6分)
(3)充分性:若為等比數(shù)列,則
對一切成立,顯然對成立。
所以既為級等比數(shù)列,也為級等比數(shù)列。 (2分)
必要性:若為級等比數(shù)列,,則均成等比數(shù)列,設(shè)等比數(shù)列的公比分別為,為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某種平面分形圖如下圖所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,長度均為1,兩兩夾角為;二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為;依此規(guī)律得到級分形圖.
(1)級分形圖中共有 條線段;
(2)級分形圖中所有線段長度之和為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列和滿足:,其中為實數(shù),為正整數(shù).
(1)對任意實數(shù),求證:不成等比數(shù)列;
(2)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某市為控制大氣PM2.5的濃度,環(huán)境部門規(guī)定:該市每年的大氣主要污染物排放總量不能超過55萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知該市2013年的大氣主要污染物排放總量為40萬噸,通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)綠色低碳生活等措施,此后每年的原大氣主要污染物排放最比上一年的排放總量減少10%.同時,因為經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加大氣主要污染物排放量萬噸.
(1)從2014年起,該市每年大氣主要污染物排放總量(萬噸)依次構(gòu)成數(shù)列,求相鄰兩年主要污染物排放總量的關(guān)系式;
(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)若該市始終不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn·
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,已知a2=2a1+3,且3a2,a4,5a3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log3an,求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前項和滿足:(為常數(shù),
(1)求的通項公式;
(2)設(shè),若數(shù)列為等比數(shù)列,求的值。
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