Question

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，bcosA+

3

bsinA-c-a=0．
（1）求B
（2）求sinAcosC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知的等式化邊為角，把C用π-（A+B）表示后整理求得B的值；
（2）利用三角函數(shù)的積化和差變形，代入角B的值，然后根據(jù)A-C的范圍得答案．

解答： 解：（1）由bcosA+

3

bsinA-c-a=0，
得2RsinBcosA+2

3

RsinBsinA-2RsinC-2RsinA=0，
即sinBcosA+

3

sinBsinA-sin(A+B)-sinA=0．
整理得，

3

sinBsinA-sinAcosB-sinA=0．
∵sinA≠0，
∴

3

sinB-cosB=1．
即sin(B-30°)=

1

2

．
∵0°＜B＜180°，
∴-30°＜B-30°＜150°，
∴B-30°=30°，
B=60°；
（2）∵B=60°，
∴sinAcosC=

1

2

[sin(A+C)+sin(A-C)]
=

1

2

sin60°+

1

2

sin(A-C)
=

3

4

+

1

2

sin(A-C)．
由0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，得
-120°＜A-C＜120°．
∴-1≤sin（A-C）≤1．
-

1

2

≤

1

2

sin(A-C)≤

1

2

．
∴sinAcosC的取值范圍是[

3

4

-

1

2

，

3

4

+

1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了解三角形，訓(xùn)練了正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的積化和差公式，是中檔題．