【題目】已知是橢圓：的左焦點，O為坐標原點，為橢圓上的點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點都在橢圓上，且中點在線段（不包括端點）上，求面積的最大值，及此時直線的方程.

【答案】（1）；（2）面積的最大值為1，此時直線的方程為

【解析】

（1）依題意可得，求出，即可得到橢圓的標準方程；

（2）設，，，易知直線AB的斜率存在，設為k，將兩點坐標分別代入橢圓方程，所得兩式相減，可得到，進而可求出k的值，從而設出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，得到關于的一元二次方程，分別表示出弦長及點O到直線AB的距離，從而可求得面積的表達式，進而求出最大值，并求得此時直線的方程.

（1）依題意可得，

即，解得，則．

故橢圓的標準方程為；

（2）設，，，

依題意可知，直線AB的斜率存在，設為k，

則，所以，

即，

又，，，所以，

又直線OP：，M在線段OP上，所以，所以．

設直線AB的方程為，

聯(lián)立方程，可得，

，，，

且，即，解得，

所以，，

又點O到直線AB的距離，

所以，

當且僅當，即舍去時，等號成立，此時直線方程為.

所以面積的最大值為1，此時直線的方程為.

練習冊系列答案
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（1）求橢圓的方程；

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（1）求該公司的月利潤（萬件）與每件產品的售價（元）的函數(shù)關系式；

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