已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）Q是橢圓上位于x軸下方的一點(diǎn)，F(xiàn)1F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)QF1的傾斜角為
π
6
，求△QF1F2的面積；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）依題意，b=1，因?yàn)殡x心率等于
3
2
，
所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
1
a2
=
3
4
，解得a2=4，
所以橢圓方程為：
x2
4
+y2=1；
（2）F1（-
3
，0），直線(xiàn)QF1：y=
3
3
(x+
3
)，代入
x2
4
+y2=1中，
得xQ=-
8
3
7
，yQ=-
1
7
，又|F1F2|=2
3
，
所以S△QF1F2=
1
2
|F1F2||yQ|=
3
7
；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-
1
k
x+1，
由
y=kx+1
x2+4y2=4
，得（4k2+1）x2+8kx=0，解得xA=-
8k
1+4k2
①，
由
y=-
1
k
x+1
x2+4y2=4
，得（k2+4）x2-8kx=0，解得xC=-
8k
4+k2
②，
因?yàn)閨AB|=|BC|，得：xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
將yA=kxA+1，yC=-
1
k
xC+1代入得：
xA2(1+k2)=xC2(1+
1
k2
)，k2xA2=xC2，
將①②代入得：k2（4+k2）2=（4k2+1）2，即[k（4+k2）+1+4k2][k（4+k2）-（1+4k2）]=0，
因?yàn)閗＞0，k（4+k2）+1+4k2＞0，得（k-1）（k2-3k+1）=0，
解得k=1，k=
3+
5
2
，k=
3-
5
2
，
所以存在這樣的等腰直角三角形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線(xiàn)與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時(shí)
1
a2
+
1
b2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P．
精英家教網(wǎng)
（1）若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對(duì)于之前小題的研究結(jié)論，我們可以將其類(lèi)比到橢圓的情形．如圖2，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相互垂直且交于點(diǎn)P．試提出一個(gè)由類(lèi)比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•武漢模擬）已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
3
，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k1=1時(shí)，求S△AOB的值；
（Ⅲ）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線(xiàn)CD的斜率為k2，求證：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
3
，點(diǎn)P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為K的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)K=1時(shí)，求S△AOB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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