Question

【題目】已知函數(shù)，有如下性質：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（1）已知，，利用上述性質，求的單調區(qū)間和值域；

（2）對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意的，總存在使得成立，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區(qū)間為，的單調遞增區(qū)間為；；（2）3.

【解析】

（1）先將函數(shù)變形為，根據(jù)題目已知條件可得函數(shù)的單調區(qū)間和值域；

（2）由求得函數(shù)的值域，由已知得的值域是的值域的子集，建立關于的不等式，解之可得實數(shù)的值.

（1），

設，∵，∴，由，可得

當時，即時，單調遞減，

∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，

當時，即時，單調遞增，

∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，

由，，，得的值域為.

（2）為減函數(shù)，

故當時，，

由題知的值域是的值域的子集，

∴，解得.