Question

【題目】觀察以下等式：

13＝12

13+23＝（1+2）2

13+23+33＝（1+2+3）2

13+23+33+43＝（1+2+3+4）2

（1）請(qǐng)用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n3+n，求S10．

Answer 1

【答案】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明見解析（2）3080

【解析】

（1）根據(jù)式子猜想出一般性結(jié)論，然后當(dāng)時(shí)，證明成立，假設(shè)時(shí)，式子也成立，然后對(duì)時(shí)的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而證明結(jié)論成立；（2）對(duì)進(jìn)行分組求和，然后根據(jù)（1）中所得到的求和公式，進(jìn)行求和計(jì)算，得到答案.

（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；

證明：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；

假設(shè)n＝k時(shí)，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，

當(dāng)n＝k+1時(shí)，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3

，

可得n＝k+1時(shí)，猜想也成立，

綜上可得對(duì)任意的正整數(shù)n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；

（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝n3+n，

S10＝（13+23+…+103）+（1+2+3+…+10）＝（1+2+…+10）2

＝552+55＝3080．