已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1:y=-
x
2
l2:y=
x
2
,焦點(diǎn)在y軸上,實(shí)軸長(zhǎng)為2
3
,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線方程;
(2)設(shè)P1,P2分別是直線l1和l2上的點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線上,且
P1M
=2
MP2
,求三角形P1OP2的面積.
分析:(1)先依題意可設(shè)雙曲線方程,利用實(shí)軸長(zhǎng)為2
3
,求得參數(shù),從而寫出雙曲線方程;
(2)設(shè)P1(-2y1,y1),P2(2y2,y2)和點(diǎn)M(x0,y0)利用向量條件以及M在雙曲線上得到三點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式,整理得y1y2=
27
8
,又直線P1P2的方程為
y-y1
y2-y1
=
x+2y1
2y2+2y1
令x=0得y=
2y1y2
y1+y2
最后利用三角形面積公式求三角形P1OP2的面積即得.
解答:解:(1)依題意可設(shè)雙曲線方程為:y2-
x2
4
=λ(λ>0)即
y2
λ
-
x2
=1

2
λ
=2
3
∴λ=3
∴雙曲線方程為
y2
3
-
x2
12
=1
…(5分)
(2)設(shè)P1(-2y1,y1),P2(2y2,y2)和點(diǎn)M(x0,y0)∵
P1M
=2
MP2
x0=
-2y1+4y2
3
y0=
y1+2y2
3
又∵M(jìn)在雙曲線上∴
y
2
0
-
x
2
0
4
=3
(
y1+2y2
3
)2-
1
4
(
-2y1+4y2
3
)2=3
整理得y1y2=
27
8
…(9分)
又直線P1P2的方程為
y-y1
y2-y1
=
x+2y1
2y2+2y1
令x=0得y=
2y1y2
y1+y2
SP1OP2=
1
2
•|
2y1y2
y1+y2
|•|(2y2+2y1)|=2|y1y2|=
27
4
…(13分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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