Question

如圖,在四棱錐P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB＝2,∠BAD＝60°.

(1)求證：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB,求PB與AC所成角的余弦值；

(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長(zhǎng).

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD.

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.

(2)設(shè)AC∩BD＝O.

因?yàn)椤螧AD＝60°,PA＝AB＝2,所以BO＝1,AO＝CO＝.

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC所在直線及點(diǎn)O所在且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz,則P(0,－,2),A(0,－,0),B(1,0,0),C(0, ,0).

 

 

所以＝(1, ,－2), ＝(0,2,0).

設(shè)PB與AC所成角為θ,

則cosθ＝＝.

(3)由(2)知＝(－1, ,0). 設(shè)P(0,－,t)(t＞0),

則＝(－1,－,t).

設(shè)平面PBC的法向量m＝(x,y,z),則·m＝0, ·m＝0.

所以令y＝,則x＝3,z＝,所以m＝.

【解析】略