Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）判定AE與PD是否垂直，并說(shuō)明理由．
（2）設(shè)AB=2，若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，若△AHE面積的最小值為，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形ABCD是一條對(duì)角線AC等于邊長(zhǎng)的菱形，從而△ABC為正三角形，BC邊上的中線AE也是高線，聯(lián)系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，從而得到AE與PD垂直．
（2）先根據(jù)AE與PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，從而AE⊥平面AHE，然后求出AE=，得到直角三角形AEH的面積為AE•AH=AH，AH最短時(shí)△AHE面積最小．結(jié)合已知條件得到AH=，最后轉(zhuǎn)到Rt△PAD中求得PA=2，利用棱錐的體積公式得出四棱錐P-ABCD的體積．
解答：解：（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，結(jié)合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH為直角三角形，----------（7分）
Rt△EAH中，，
當(dāng)AH最短時(shí)，即AH⊥PD時(shí)，△AHE面積的最小-----------（8分）
此時(shí)，．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（10分）
----------------------------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)和棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．在題中出現(xiàn)了探究性問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們留意在解題過(guò)程中“空間問(wèn)題平面化的思路”，是立體幾何常用的數(shù)學(xué)思想．