Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）；
（3）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在BC邊上找一點(diǎn)P，使MP∥平面CNB₁并求．

Answer 1

【答案】分析：（1）該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，BA，BC，BB₁兩兩垂直． 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
，證出=0，=0后即可證明BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求出平面NCB₁的一個(gè)法向量，利用與此法向量的夾角求出直線C₁N與平面CNB₁所成的角
（3）設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，由MP∥平面CNB₁，得知⊥，利用向量數(shù)量積為0求出a的值，并求出．
解答：（1）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．                              …（2分）
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（4分）
（2）解：設(shè)n₂=（x，y，z）為平面NCB₁的一個(gè)法向量，
則  
則；…（8分）
（3）∵M(jìn)（2，0，0）．設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，則，∵M(jìn)P∥平面CNB₁，
∴．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當(dāng)PB=1時(shí)，MP∥平面CNB₁
∴…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系及判斷，線面角求解，利用空間向量的方法，能夠降低思維難度，但要注意有關(guān)的運(yùn)算要準(zhǔn)確．