Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長均為1，則點B₁到平面ABC₁的距離為

 

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Answer 1

分析：在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉化為求點到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：即找（作）出一個過該點的平面與已知平面垂直，然后過該點作其交線的垂線，則得點到平面的垂線段．觀察點的位置可知：點B₁到平面ABC₁的距離就等于點C到平面ABC₁的距離，取AB得中點M，連接CM，C₁M，過點C作CD⊥C₁M，垂足為D，則平面ABC₁⊥平面C₁CM，所以CD⊥平面C₁AB，故CD的長度即為點C到平面ABC₁的距離，在Rt△C₁CM中，利用等面積法即可求出CD的長度．

解答：解：如圖所示，取AB得中點M，連接CM，C₁M，過點C作CD⊥C₁M，垂足為D
∵C₁A=C₁B，M為AB中點，
∴C₁M⊥AB
∵CA=CB，M為AB中點，
∴CM⊥AB
又∵C₁M∩CM=M，
∴AB⊥平面C₁CM
又∵AB?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面C₁CM，平面ABC₁∩平面C₁CM=C₁M，CD⊥C₁M，
∴CD⊥平面C₁AB，
∴CD的長度即為點C到平面ABC₁的距離，即點B₁到平面ABC₁的距離
在Rt△C₁CM中，C₁C=1，CM=

3

2

，C₁M=

7

2

∴CD=

21

7

，即點B₁到平面ABC₁的距離為

21

7

故答案為：

21

7

點評：本小題主要考查棱柱，線面關系、點到平面的距離等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．