已知點(diǎn)F是雙曲線C：x2-y2=2的左焦點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且
OA
+
OB
=2
OP
，求直線l的方程．
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)
FB
=λ
FA
，當(dāng)λ∈[6，+∞）時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．
設(shè)A（x1，y2），B（x2，y2），
（1）由A、B兩點(diǎn)在雙曲線上，得
x21
-
y21
=2
x22
-
y22
=2

作差：（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）即
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
y1+y2
，
由
OA
+
OB
=2
OP
，知
x1+x2=2
y1+y2=4

則直線l的斜率k=
1
2
，直線l的方程為y-2=
1
2
(x-1)即x-2y+3=0
易知直線l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，方程x-2y+3=0即為所求，
（2）F（-2，0），由
FB
=λ
FA
，得
x2+2=λ(x1+2)
y2=λy1

設(shè)直線l：y=k（x+2），由
y=k(x+2)
x2-y2=2
，得（1-k2）y2-4ky+2k2=0．
∴△=16k2-8k2（1-k2）=8k2（1+k2）y1+y2=
4k
1-k2
，y1y2=
2k2
1-k2
．
由y2=λy1，y1+y2=
4k
1-k2
，y1y2=
2k2
1-k2
，消去y1，y2，
得
8
1-k2
=
(1+λ)2
λ
=λ+
1
λ
+2．
∵λ≥6，函數(shù)g(λ)=λ+
1
λ
+2在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴
8
1-k2
≥6+
1
6
+2=
49
6
，∴k2≥
1
49
．
又直線l與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k2）y2-4ky+2k2=0兩根同號(hào)，
∴k2＜1．
∴
1
49
≤k2＜1，故k∈(-1，-
1
7
]∪[
1
7
，1)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示的曲線C是由部分拋物線C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲線C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直線l與曲線C1相切于點(diǎn)M，與曲線C2相切于點(diǎn)N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）當(dāng)t=
2
時(shí)，求m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，∠MAB=∠NAB？并求出此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-
2
，0)，(
2
，0)，離心率是
6
3
，直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)T變化時(shí)，求y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
2
)，其離心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l：y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△PAB的面積為
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的焦點(diǎn)分別為F1和F2，過(guò)原點(diǎn)O作直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF2的面積是20，則直線AB的方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與x軸交于C點(diǎn)，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的值為（　�。�
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A，B，求弦長(zhǎng)|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
3
，過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當(dāng)三角形OAB的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問(wèn)：實(shí)數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時(shí)，橢圓E的短半軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線L：
x
4
+
y
3
=1與橢圓E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積等于3，則這樣的點(diǎn)P共有（　�。�
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

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同步練習(xí)冊(cè)答案