Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）•
（I）設(shè)b_n=a_n+2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{c_n}滿足c_nlog₂b_n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）、根據(jù)題中已知條件S_n=2a_n-2n（n∈N^*），得出n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）此兩式作差整理即可得到入b_n所滿足的關(guān)系，從而可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)題中的條件先求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，然后求出的表達(dá)式，寫出數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式，然后利用差項(xiàng)相減法便可求出T_n的值．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2（n≥2）．…（3分）
又∵a₁=2，可知a_n＞0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，（常數(shù)），
∴{b_n}是以b₁=a₁+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2ⁿ⁺¹．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=log₂b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴，…（8分）
則，…①
，…②
兩式相減得，…（10分）
===．
∴．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．