Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2﹣alnx+ （a∈R） （Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=﹣1，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜ x3 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)閤＞0 若a≤0時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的單調(diào)區(qū)間為（0，+∞）
若a＞0時(shí)，令f'（x）＞0，得
即f（x）的單調(diào)區(qū)間為 ，減區(qū)間為
（Ⅱ）證明：設(shè)
則
∴F（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，且
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
∴當(dāng)x＞1，
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè) ，證明F（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．