Question

對于函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在實數x₀，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．
（1）當a=2，b=-2時，求f（x）的不動點．
（2）若對于任何實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）當a=2，b=-2時，f（x）=2x²-x-4．
設x為其不動點，即2x²-x-4=x．
則2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不動點是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．
由已知，此方程有相異二實根，△_x＞0恒成立，
即b²-4a（b-2）＞0．
即b²-4ab+8a＞0對任意b∈R恒成立．
∴△_b＜0．，
∴16a²-32a＜0，
∴0＜a＜2．
分析：（1）設x為不動點，則有2x²-x-4=x，變形為2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）將f（x）=x轉化為ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相異二實根，則有△_x＞0恒成立求解；
點評：本題主要考查的知識點是二次函數的性質，方程的解法，方程根的情況以及垂直平分線定義的應用．其中根據已知中的新定義，構造滿足條件的方程是解答本題的關鍵．