8.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF,BE與平面ABCD所成角為45°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角F-BE-D的大。

分析 (1)推導(dǎo)出AC⊥BD,AC⊥DE,由此能證明AC⊥平面BDE.
(2)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F-BE-D的大小.

解答 證明:(1)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,
∴AC⊥BD,
∵DE⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥DE,
∵BD∩DE=D,∴AC⊥平面BDE.
(2)以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵BE與平面ABCD所成角為45°,∴DE=BD=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$,
則D(0,0,0),B(2,2,0),E(0,0,2$\sqrt{2}$),F(xiàn)(2,0,$\sqrt{2}$),
$\overrightarrow{BE}$=(-2,-2,2$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{BF}$=(0,-2,$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{DB}$=(2,2,0),
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2x-2y+2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,0),
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2a-2b+2\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-2b+\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$,取c=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{m}$=(1,1,$\sqrt{2}$),
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1-1+0=0,
∴二面角F-BE-D的大小為$\frac{π}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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④若$\lim_{n→∞}({a_n}-{b_n})=0$,則$\lim_{n→∞}{a_n}=\lim_{n→∞}{b_n}$;
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