Question

?①若命題p：

1

x-1

＞0，則?p：

1

x-1

≤0；
?②若p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件；
③?方程ax²+x+a=0有唯一解的充要條件是a=±

1

2

；
④△ABC中A＞B是sinA＞sinB的充要條件．
上述命題中真命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接寫(xiě)出命題p的否定判斷命題①；
根據(jù)p是q的充分不必要條件寫(xiě)出p與q的推出關(guān)系，找逆否命題得到￢p與￢q的推出關(guān)系，從而判斷命題真假；
直接取a=0說(shuō)明命題錯(cuò)誤；
分別證出必要性和充分性得到命題④正確．

解答： 解：對(duì)于①，若命題p：

1

x-1

＞0，則?p：

1

x-1

≤0或x=1，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若p是q的充分不必要條件，則p能推出q，但q不能退p，
∴￢q能推￢p，￢p不能推￢q，￢p是￢q的必要不充分條件，故②正確；
對(duì)于③，∵a=0時(shí)方程ax²+x+a=0也有唯一解，
∴命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，在△ABC中，若A＞B，由于A+B＜π，必有B＜π-A，若A，B都是銳角，有sinA＞sinB成立．
若A，B之一為銳角，必是B為銳角，此時(shí)有π-A不是鈍角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，
此時(shí)有sin（π-A）=sinA＞sinB．
若sinA＞sinB，當(dāng)A不是銳角時(shí)，有A＞B．當(dāng)A為銳角時(shí)，仍可得到A＞B．
∴A＞B是sinA＞sinB的充要條件，故命題④正確．
∴真命題的序號(hào)是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，命題①的判斷易出錯(cuò)，會(huì)漏掉x=1，命題④的證明是該提的難點(diǎn)所在，該題屬中檔題．