Question

【題目】某廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取各10件，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖：
規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量滿足≥18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量的均值與方差，并說(shuō)明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對(duì)穩(wěn)定；
（2）從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品某種元素含量的均值分別為 、 ，方差分別為 、 ，

= ，

=

= [（9﹣18）2+（13﹣18）2+（19﹣18）2+（16﹣18）2+（15﹣18）2+（18﹣18）2+（21﹣18）2+（25﹣18）2+（21﹣18）2+（23﹣18）2]=14，

= [（18﹣18）2+（16﹣18）2+（17﹣18）2+（16﹣18）2+（19﹣18）2+（12﹣18）2+（15﹣18）2+（22﹣18）2+（21﹣18）2+（24﹣18）2]=11.6，

∵ = ， ，∴乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對(duì)穩(wěn)定．

（2）解：由樣本數(shù)據(jù)可知，乙廠10件產(chǎn)品中有5件是優(yōu)等品，

∴ξ的取值為0，1，2，3．

，

，

，

，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

故ξ的數(shù)學(xué)期望為 ．

【解析】（1）分別求出甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品某種元素含量的均值 、 ，方差 、 ，由 = ， ，知乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對(duì)穩(wěn)定．（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，乙廠10件產(chǎn)品中有5件是優(yōu)等品，ξ的取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】掌握莖葉圖是解答本題的根本，需要知道莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少．