Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，而數(shù)列{b_n}的首項為1，b_n+1-b_n-2=0．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（3）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4；
（2）∵S_n=2a_n-2①，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）②，
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即，
∵a₁≠0，∴，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
∵a₁=2，∴．
由已知得b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
又b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（3）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴③，
∴④，
③-④得：．
即：=
∴．
分析：（1）由a_n是S_n與2的等差中項得遞推式，在遞推式中分別取n=1和n=2即可求得a₁和a₂的值；
（2）由（1）中的遞推式和求得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，由b_n+1-b_n-2=0推得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式可求；
（3）把a_n和b_n代入c_n=a_n•b_n后直接利用錯位相減法求和．
點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，求一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的積數(shù)列的前n項和，常采用錯位相減法．此題是中檔題．