Question

函數(shù)f（x）=

2sin2x-3sinx

(2sinx+3)2

的值域為

 

．

Answer 1

分析：由f（x）=

2sin2x-3sinx

(2sinx+3)2

=

1

2

- 

9

2

•

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

，令t=2sinx+1，則由sinx∈[-1，1]可得t∈[-1，3]，設(shè)m=

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

=

t

t2+4t+4

，分類討論①當t=0時，m=0②當0＜t≤3時，利用基本不等式可得m=

1

t+ 4 t +4

≤

1

2 t• 4 t +4

=

1

8

③當-1≤t＜0時，t+

4

t

+4≤-1可求m，綜合①②③可求m的范圍，而f（x）=

1

2

-

9m

2

可求

解答：解：f（x）=

2sin2x-3sinx

(2sinx+3)2

=

2sin2x-3sinx

4sin2x+12sinx+9

=

2sin2x+6sinx+ 9 2 -(9sinx+ 9 2 )

4sin2x+12sinx+9

=

1

2

-

9

2

•

sinx+ 1 2

2sin2x+6sinx+ 9 2

=

1

2

- 

9

2

•

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

令t=2sinx+1則由sinx∈[-1，1]可得t∈[-1，3]，sinx=

1

2

（t-1）
設(shè)m=

2sinx+1

4sin2x+12sinx+9

=

t

t2+4t+4

當t=0時，m=0
當0＜t≤3時，m=

1

t+ 4 t +4

≤

1

2 t• 4 t +4

=

1

8

，即0＜m≤

1

8

當-1≤t＜0時，t+

4

t

+4≤-1 即-1≤m＜0．
綜上可知：-1≤m≤

1

8

而f（x）=

1

2

-

9m

2

∈[-

1

16

，5]
∴函數(shù)f（x）的值域為[-

1

16

，5]

點評：本題主要考查了利用判別式法函數(shù)值域，利用了正弦函數(shù)的值域，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化及分類討論的思想．