已知拋物線C:x2=2py(p>0)上一點A(a,4)到其準(zhǔn)線的距離為
174

(Ⅰ)求p與a的值;
(Ⅱ)設(shè)拋物線C上動點P的橫坐標(biāo)為t(0<t<2),過點P的直線交C于另一點Q,交x軸于M點(直線PQ的斜率記作k).過點Q作PQ的垂線交C于另一點N.若MN恰好是C的切線,問k2+tk-2t2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
分析:(I)利用拋物線的定義和點在拋物線上滿足的條件即可得出;
(II)由題意可知:過點P(t,t2)的直線PQ的斜率k不為0,則直線PQ:y-t2=k(x-t),即可求出點M的坐標(biāo),把直線PQ的方程與拋物線的方程聯(lián)立即可得出點Q的坐標(biāo).由QN⊥QP,即可得出直線QN的方程,與拋物線方程聯(lián)立即可得出點N的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)和斜率的計算公式即可得出直線MN兩種形式的斜率,化簡即可證明結(jié)論.
解答:解:(I)可得拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-
p
2
,由題意可得4+
p
2
=
17
4
,解得p=
1
2

∴拋物線的方程為x2=y.把點A(a,4)代人此方程得a2=4,解得a=±2.
∴a=±2,p=
1
2

(II)由題意可知:過點P(t,t2)的直線PQ的斜率k不為0,則直線PQ:y-t2=k(x-t),
當(dāng)y=0時,x=t-
t2
k
,∴M(t-
t2
k
,0)

聯(lián)立
y-t2=k(x-t)
x2=y
消去y得(x-t)[x-(k-t)]=0,
解得x=t,或x=k-t.∴Q(k-t,(k-t)2),
∵QN⊥QP,∴kQN=-
1
k
,∴直線NQ:y-(k-t)2=-
1
k
[x-(k-t)]
,
聯(lián)立
y-(k-t)2=-
1
k
[x-(k-t)]
x2=y
,消去y化為[x-(k-t)][x+(k-t)+
1
k
]=0
,解得x=k-t,或x=t-k-
1
k

∴N(t-k-
1
k
,(t-k-
1
k
)2)
,∴拋物線在點N處的切線的斜率為y=2x|x=t-k-
1
k
=2(t-k-
1
k
)
,
另一方面kMN=
(t-k-
1
k
)2
t2
k
-k-
1
k
,
2(t-k-
1
k
)=
(t-k-
1
k
)2
t2
k
-k-
1
k
,
t-k-
1
k
≠0
,∴2(
t2
k
-k-
1
k
)=t-k-
1
k
,化為k2+tk-2t2=-1為定值.
點評:熟練掌握拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立即可得到交點的坐標(biāo)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線的斜率關(guān)系、斜率的計算公式設(shè)解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點F到準(zhǔn)線的距離為
12

(1)試求拋物線C的方程;
(2)設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標(biāo)為t(t>0),過P的直線交C于另一點Q,交x軸于M,過點Q作PQ的垂線交C于另一點N,若MN是C的切線,求t的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=
12
y
和定點P(1,2),A、B為拋物線C上的兩個動點,且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù).
(I)求證:直線AB的斜率是定值;
(II)若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M,求M的軌跡方程;
(III)若A′與A關(guān)于y軸成軸對稱,求直線A′B與y軸交點P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py,過點A(0,4)的直線l交拋物線C于M,N兩點,且OM⊥ON.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q,若△MNQ是等腰三角形,求直線MN的方程.K.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=ay(a>0),斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F,交拋物線于A,B兩點,且拋物線上一點M(2
2
 , m) (m>1)
到點F的距離是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)過A,B兩點分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點為點Q,求證:
AB
 • 
FQ
=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2my(m>0)和直線l:y=x-m沒有公共點(其中m為常數(shù)).動點P是直線l上的任意一點,過P點引拋物線C的兩條切線,切點分別為M、N,且直線MN恒過點Q(1,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知O點為原點,連接PQ交拋物線C于A、B兩點,求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案