Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若，，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，，，，且線段的中點(diǎn)為，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，依題意，導(dǎo)函數(shù)滿足在上有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知，且由的趨近性可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）問題轉(zhuǎn)化為證明，通過換元令，即證，再分別證明即可．

（1）由題意可知，，令，

則在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，

由可得，

令，則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，

是的極大值也是最大值，

，

，

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，大于0且趨向于0，

要使在有兩個(gè)根，則；

（2）由題意可得，，

要證（1）成立，

只需證，即，

設(shè)，即證，

要證，只需證，

令，則，

在上為增函數(shù)，

，即成立；

要證，只需證，

令，則，

在上為減函數(shù)，

，即成立；

成立，

即成立．