Question

設(shè)a、b是非負(fù)實數(shù)，且a²+b²=4，則

ab

a+b+2

（　　）

• A、有最大值

  2

  +1
• B、有最小值

  2

  +1
• C、有最大值

  2

  -1
• D、有最小值

  2

  -1

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,圓的參數(shù)方程

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)a、b是非負(fù)實數(shù)，且a²+b²=4，想到令a=2cosθ，b=2sinθ，θ∈[0，

π

2

]，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)研究最值，遇到sinθ+cosθ與sinθcosθ時，令t=sinθ+cosθ，轉(zhuǎn)化成t的函數(shù)研究最值，從而求出所求．

解答： 解：∵a、b是非負(fù)實數(shù)，且a²+b²=4，
∴令a=2cosθ，b=2sinθ，θ∈[0，

π

2

]，
∴

ab

a+b+2

=

4sinθcosθ

2cosθ+2sinθ+2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ+1

，
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）∈[1，

2

]，則2sinθcosθ=t²-1，
∴

ab

a+b+2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ+1

=

t2-1

t+1

=t-1，t∈[1，

2

]，
∴t-1有最小值0，最大值

2

-1，即

ab

a+b+2

有最小值0，最大值

2

-1．
故選：C．

點評：本題主要考查了最值，該題利用參數(shù)方程進(jìn)行求解比較方便，同時考查了運(yùn)算求解的能力和轉(zhuǎn)化的思想和換元的思想，屬于中檔題．