Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面夾角的余弦值，

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）結(jié)合題中數(shù)據(jù)在四邊形中證得，由平面面，得平面，所以，又，可得平面；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 在的直線為、軸，在底面內(nèi)點(diǎn)過點(diǎn)作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，然后計(jì)算其夾角，由二面角的平面角與法向量的關(guān)系得到答案.

解（1），，.

，根據(jù)勾股定理可知.

又平面面，且平面平面，

平面..

又，平面.

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 在的直線為、軸，在底面內(nèi)點(diǎn)過點(diǎn)作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，

所以，，

設(shè)平面法向量為，

則，

取，，

平面一個法向量為，

設(shè)平面法向量為，

則，

取，，

平面一個法向量為，

由圖易知平面與平面夾角為銳角

所以平面 平面成夾角的余弦值為.