Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圓直徑為1，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABC中，由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和差的正弦公式化簡可得sin（C-A）=sin（B-C）．
故有 C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．
（2）由于C=，設(shè)A=+α，B=-α，-＜α＜，由正弦定理可得 a²+b²=sin²A+sin²B=
1+cos2α．由-＜2α＜，根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域求得 a²+b²的取值范圍．
解答：解：（1）在△ABC中，∵，∴=，
化簡可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=．
（2）由于C=，設(shè)A=+α，B=-α，-＜α＜，
由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，
∴a²+b²=sin²A+sin²B=+=1-[cos（+2α）+cos（-2α）]
=1+cos2α．
由-＜2α＜，可得-＜cos2α≤1，∴＜1+cos2α≤，即a²+b²的取值范圍為 （，]．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦定理、余弦函數(shù)的定義域和值域、
兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．