【題目】如圖,分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于,與橢圓分別交于不同四點,直線的斜率滿足.已知當(dāng)軸重合時,.

Ⅰ)求橢圓的方程;

Ⅱ)是否存在定點使得為定值?若存在,求出點坐標(biāo)并求出此定值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ);.

【解析】試題分析:(1)當(dāng)軸重合時,垂直于軸,得,,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標(biāo)化,可得點的軌跡是橢圓,從而求得定點和點.

試題解析:當(dāng)軸重合時,, ,所以垂直于軸,得,,, ,橢圓的方程為.

焦點坐標(biāo)分別為, 當(dāng)直線斜率不存在時,點坐標(biāo)為;

當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)斜率分別為, 設(shè), 得:

, 所以:,, 則:

. 同理:, 因為

, 所以, , 由題意知, 所以

, 設(shè),則,即,由當(dāng)直線斜率不存在時,點坐標(biāo)為也滿足此方程,所以點在橢圓.存在點和點,使得為定值,定值為.

考點:圓錐曲線的定義,性質(zhì),方程.

【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應(yīng)用進行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā),把坐標(biāo)化,求得點的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點和點.

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知,.

(Ⅰ)若,求的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點為,記,證明:

【答案】(Ⅰ)極大值為無極小值;證明見解析.

【解析】分析:(Ⅰ)先判斷函數(shù)上的單調(diào)性,然后可得當(dāng)時,有極大值,無極小值.不妨設(shè),由題意可得,又由條件得,構(gòu)造,令,則,利用導(dǎo)數(shù)可得故得,所以

詳解:(Ⅰ),

,

且當(dāng)時,,即上單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,即上單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時,有極大值,且,無極小值.

(Ⅱ)函數(shù)的兩個零點為,不妨設(shè),

,

,

,,

,

,則

上單調(diào)遞減,

,

,

,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知圓錐底面半徑為底面圓圓心,點Q為半圓弧的中點,點為母線的中點,所成的角為,求:

(1)圓錐的側(cè)面積;

(2)兩點在圓錐面上的最短距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對于函數(shù),若在定義域存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;

(2)設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線的方程為,其中.

(1)求證:直線恒過定點;

(2)當(dāng)變化時,求點到直線的距離的最大值;

(3)若直線分別與軸、軸的負半軸交于兩點,求面積的最小值及此時直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】

如圖,四棱錐P -ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD是正三角形,

且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,E 為側(cè)棱PD的中點。

(1)求證:PB//平面EAC;

(2)求證:AE⊥平面PCD;

(3)當(dāng)為何值時,PB⊥AC ?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了保證食品的安全衛(wèi)生,食品監(jiān)督管理部門對某食品廠生產(chǎn)甲、乙兩種食品進行了檢測調(diào)研,檢測某種有害微量元素的含量,隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品,每個批次各隨機地抽取了一件,下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖(單位:毫克).規(guī)定:當(dāng)食品中的有害微量元素的含量在時為一等品,在為二等品,20以上為劣質(zhì)品.

(1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù),再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個,求抽到食品甲包含劣質(zhì)品的概率和抽到食品乙全是一等品的概率;

(2)在概率和統(tǒng)計學(xué)中,數(shù)學(xué)期望(或均值)是基本的統(tǒng)計概念,它反映隨機變量取值的平均水平.變量的一切可能的取值與對應(yīng)的概率乘積之和稱為該變量的數(shù)學(xué)期望,記為.

參考公式:變量的取值為,對應(yīng)取值的概率,可理解為數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率

.

①每生產(chǎn)一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質(zhì)品虧損20元,根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的頻率,分別估計這兩種食品為一等品、 二等品、劣質(zhì)品的概率,若分別從甲、乙食品中各抽取1件,求這兩件食品各自能給該廠 帶來的盈利期望.

②若生產(chǎn)食品甲初期需要一次性投入10萬元,生產(chǎn)食品乙初期需要一次性投人16 萬元,但是以目前企業(yè)的狀況,甲乙兩條生產(chǎn)線只能投資其中一條.如果你是該食品廠負責(zé)人,以一年為期限,盈利為參照,請給出合理的投資方案.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)fx)滿足fx)=f(2-x),且f(1)=6,f(3)=2.

(1)求fx)的解析式

(2)是否存在實數(shù)m,使得在[-1,3]上fx)的圖象恒在直線y=2mx+1的上方?若存在,求m的取值范圍;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)的值;

(2)若,對任意都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè) ,若,是否存在實數(shù)使函數(shù)上的最大值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是的中點.

(1)設(shè)P是上的一點,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(2)當(dāng)AB=3,AD=2時,求二面角E-AG-C的大小.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案