已知函數(shù)在點
處的切線方程是x+ y-l=0,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)g(x)=1nx- cx+ 1+ c(c>0),對一切x∈(0,+
)均有
恒成立.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求證:.
(Ⅰ),
,
;(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求、
,利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性,用函數(shù)的最值積恒成立求
;(Ⅱ)構(gòu)造新函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)法求
的最小值,利用
結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論
進(jìn)行證明.
試題解析:(Ⅰ),
,
,
,
. (2分)
,由于
,
所以當(dāng)時,
是增函數(shù),
當(dāng)時,
是減函數(shù),
,
由恒成立,
,即
恒成立,① (4分)
令,則
,
在
上是增函數(shù),
上是減函數(shù),
,即
,當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立 .
,
由①②可知,,所以
. (6分)
(Ⅱ)證法一:所求證不等式即為.
設(shè),
,
當(dāng)時,
是減函數(shù),
當(dāng)時,
是減函數(shù),
,即
. (8分)
由(Ⅰ)中結(jié)論②可知,,
,
當(dāng)
時,
,
從而 (10分)
.
(或者也可)
即,
原不等式成立. (12分)
考點:導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,恒成立,不等式的證明.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(Ⅰ)若,求函數(shù)
在區(qū)間
上的最值;
(Ⅱ)若恒成立,求
的取值范圍. (注:
是自然對數(shù)的底數(shù))
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已知函數(shù)在
處取得極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若關(guān)于的方程
在
上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若,使
成立,求實數(shù)
的取值范圍
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已知 (
).
(1)當(dāng)時,判斷
在定義域上的單調(diào)性;
(2)若在
上的最小值為
,求
的值;
(3)若在
上恒成立,試求
的取值范圍.
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設(shè)函數(shù) (
).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)試通過研究函數(shù)(
)的單調(diào)性證明:當(dāng)
時,
;
(Ⅲ)證明:當(dāng),且
均為正實數(shù),
時,
.
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已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間
上存在極值點,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)當(dāng)時,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)求證:.(
,
為自然對數(shù)的底數(shù))
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已知函數(shù),
.
(Ⅰ)若,求函數(shù)
在區(qū)間
上的最值;
(Ⅱ)若恒成立,求
的取值范圍.
注:是自然對數(shù)的底數(shù)
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已知函數(shù),它的一個極值點是
.
(Ⅰ) 求的值及
的值域;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),試求函數(shù)
的零點的個數(shù).
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