Question

已知f(x)=x-e

x

a

 (a＞0)．
（Ⅰ）判斷曲線y=f（x）在x=0的切線能否與曲線y=e^x相切？并說明理由；
（Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（Ⅲ）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：

x1

x2

＜

e

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出曲線y=f（x）在x=0的切線方程，假設(shè)切線與曲線y=e^x相切，設(shè)出切點(diǎn)，由斜率相等及切點(diǎn)在切線上聯(lián)立推出矛盾；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在[a，2a]上的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）先增后減，有最大值，若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），則最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x₂-x₁＞alna-a，把x₁，x₂代入原函數(shù)得到x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，作比后利用放縮可證得要求證的不等式．

解答：（Ⅰ）解：由f(x)=x-e

x

a

 (a＞0)，得：f′(x)=1-

1

a

e

x

a

，則f′(0)=1-

1

a

，f（0）=-1．
∴曲線y=f（x）在x=0的切線l的方程為y=(1-

1

a

)x-1．
若l與曲線y=e^x相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則

ex0=1- 1 a ex0=(1- 1 a )x0-1

①．
由a＞0，得：0＜ex0=1-

1

a

＜1，∴x₀＜0，
由①得x0=1+

1

1- 1 a

＞1．與x₀＜0矛盾．
∴曲線y=f（x）在x=0的切線不能與曲線y=e^x相切．
（Ⅱ）解：令f^′（x）=0，得1-

1

a

e

x

a

=0，即x=alna．
由f^′（x）＞0，得x＜alna，由f^′（x）＜0，得：x＞alna．
∴f（x）在（-∞，alna]上為增函數(shù)，在[alna，+∞）上為減函數(shù)．
∴當(dāng)a＞alna，即a＜e時(shí)，f（x）_max=f（a）=a-e．
當(dāng)a≤alna≤2a，即e≤a≤e²時(shí)，f（x）_max=f（alna）=alna-a．
當(dāng)2a＜alna，即a＞e²時(shí)，f(x)max=f(2a)=2a-e2．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知f（x）_max=f（alna）=alna-a．
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0．
∴l(xiāng)na＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．
得x₂-x₁＞alna-a，又x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，
∴

x1

x2

=e

1

a

(x1-x2)＜e

1

a

(a-alna)=

e

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，特別是（Ⅲ）的證明涉及到放縮法的思想，是該題的難點(diǎn)所在，此題屬有一定難度問題．