Question

已知f（x）=xlnx
（1）求g(x)=

f(x)+k

x

(k∈R)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當x≥1時，2x-e≤f（x）≤

x2-1

2

恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)，討論k的符號，得到g'（x）的符號從而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=xlnx-2x+e（x≥1）令h'（x）=0，然后討論導數(shù)為0在定義域內(nèi)的導數(shù)符號，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，可證得f（x）≥2x-e，設(shè)G（x）=lnx-

x2-1

2x

(x≥1)，利用導數(shù)研究G（x）為單調(diào)性即可證得f（x）≤

x2-1

2

，從而得到結(jié)論．

解答：解：（1）g（x）=lnx+

k

x

∴令g′(x)=

x-k

x2

=0得x=k∵x＞0∴k≤0時g'（x）＞0所以函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；當k＞0時g'（x）＞0得x＞k；g'（x）＜0得0＜x＜k∴增區(qū)間為（k，+∞），減區(qū)間為（0，k）（2分）
（2）設(shè)h（x）=xlnx-2x+e（x≥1）
令h'（x）=lnx-1=0得x=e
所以

x	1	（1，e）	e	（e，+∞）
h'（x）		-	0	+
h（x）	e-2	↓	0	↑

所以h（x）≥0∴f（x）≥2x-e（4分）
設(shè)G（x）=lnx-

x2-1

2x

(x≥1)

G′(x)= 1 x - 1 2 (1+ 1 x2 )= -(x-1)2 2x2 ≤0 當且僅當x=1時G′(x)=0

所以G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≤G（1）=0
所以lnx-

x2-1

2x

≤0，所以xlnx≤

x2-1

2

(x≥1)成立
所以f（x）≤

x2-1

2

綜上：當x≥1時，2x-e≤f（x）≤

x2-1

2

恒成立

點評：本小題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和運用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法，屬于難題．