Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）已知函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C．設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得：①x₀=

x1+x2

2

；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)f（x）=存在“中值相依切線”．
試問：函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）（a∈R且a≠0）是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分類討論，利用函數(shù)為二次函數(shù)，確定函數(shù)的零點(diǎn)，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侶切線的意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x，直線與x軸的交點(diǎn)為O（0，0），即函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)為0，不在原點(diǎn)右側(cè)，不滿足條件．（1分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=

1

2

x²，拋物線的頂點(diǎn)為O（0，0），即函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)為0，不在原點(diǎn)右側(cè)，不滿足條件．（2分）
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=

1

2

ax²-（a-1）x=

1

2

a（x-

a-1

a

）²-

(a-1)2

2a

，拋物線開口向上且過原點(diǎn)，對(duì)稱軸x=

a-1

a

＜0，所以拋物線與x軸的另一交點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，故函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)不在原點(diǎn)右側(cè)，不滿足條件．（3分）
（4）當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）=

1

2

ax²-（a-1）x=

1

2

a（x-

a-1

a

）²-

(a-1)2

2a

，拋物線開口向上且過原點(diǎn)，對(duì)稱軸x=

a-1

a

＞0，所以拋物線與x軸的另一交點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，故函數(shù)y=g（x）有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，滿足條件．（4分）
（5）當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=

1

2

ax²-（a-1）x=

1

2

a（x-

a-1

a

）²-

(a-1)2

2a

，拋物線開口向下且過原點(diǎn)，對(duì)稱軸x=

a-1

a

＞0，所以拋物線與x軸的另一交點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，故函數(shù)y=g（x）有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，滿足條件．（5分）
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．（6分）
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)G（x）存在“中值相依切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），是曲線y=G（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，
則y₁=lnx₁-

1

2

a

x

2 1

+（a-1）x₁，y₂=lnx₂-

1

2

a

x

2 2

+（a-1）x₂．
k_AB=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₁+x₂）+（a-1）（8分）
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率k=G′（x₀）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)，（9分）
依題意得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a（x₁+x₂）+（a-1）=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)．
化簡(jiǎn)可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，即ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．（11分）
設(shè)

x2

x1

=t（t＞1），上式化為：lnt=2-

4

t+1

，即lnt+

4

t+1

=2．（12分）
令h（t）=lnt+

4

t+1

，則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因?yàn)閠＞1，顯然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上遞增，顯然有h（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．
所以函數(shù)G（x）不存在“中值相依切線”．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查存在性問題，綜合性強(qiáng)．