【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點(diǎn)在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，，根據(jù)直徑所對圓周角是直角，得到，計(jì)算出的長，通過勾股定理證得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到平面.（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系通過計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算二面角的余弦值，進(jìn)而求得其正弦值.

（1）證明：連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以.

因?yàn)?/span>，所以，.

所以.

因?yàn)?/span>為等腰梯形，，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以，從而得.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

（2）解：由（1）易知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

因?yàn)?/span>，所以，，，.

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由，得，令，得，

由，得，令，得，

所以，所以，

故二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓C上，直線與橢圓C交于E，F兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

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【題目】設(shè)直線l：y=2x﹣1與雙曲線（，）相交于A、B兩個(gè)不

同的點(diǎn)，且（O為原點(diǎn)）．

（1）判斷是否為定值，并說明理由；

（2）當(dāng)雙曲線離心率時(shí)，求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍．

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【題目】如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，，，分別為，的中點(diǎn)．

（1求異面直角與所成角的大��；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】（本小題滿分10分）選修4—4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線，直線：（為參數(shù)）.

（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；

（II）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，的最大值與最小值．

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【題目】已知橢圓：的離心率為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求面積的最大值.

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【題目】為降低汽車尾氣排放量，某工廠設(shè)計(jì)制造了、兩種不同型號的節(jié)排器，規(guī)定性能質(zhì)量評分在的為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的、兩種型號的節(jié)排器中，分別隨機(jī)抽取500件產(chǎn)品進(jìn)行性能質(zhì)量評分，并將評分分別分成以下六個(gè)組；，，，，，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）設(shè)500件型產(chǎn)品性能質(zhì)量評分的中位數(shù)為，直接寫出所在的分組區(qū)間；

（2）請完成下面的列聯(lián)表（單位：件）（把有關(guān)結(jié)果直接填入下面的表格中）；

型節(jié)排器

型節(jié)排器

總計(jì)

優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

總計(jì)

500

500

1000

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為、兩種不同型號的節(jié)排器性能質(zhì)量有差異？

附：，其中.

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

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【題目】在三棱柱中，，側(cè)面是邊長為2的正方形，點(diǎn)，分別在線段、上，且，，.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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